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二次根式的解法
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二次根式的解法
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二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,进行二次根式的化简与运算时,一般遵循以下做法：
①先将式中的二次根式适当化简
②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行,运算中要运用公式 （ , ）
③对于二次根式的除法,通常是先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算．
④二次根式的加减法与多项式的加减法类似,即在化简的基础上去括号与合并同类项．
⑤运算结果一般要化成最简二次根式．
化简二次根式的常用技巧与方法
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还要掌握一些特殊的方法和技巧,会收到事半功倍的效果,下面通过具体的实例进行分类解析．
1．公式法
【例1】计算① ； ②
【解】①原式
②原式
【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”,从而使计算较为简便．
2．观察特征法
【例2】计算：
【方法导引】若直接运用根式的性质去计算,须要进行两次分母有理化,计算相当麻烦,观察原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以 ,即得分子,于是可以简解如下：
【解】原式 ．
【例3】 把下列各式的分母有理化．
（1） ；（2） （ ）
【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁,观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示我们可以用如下解法：
【解】①原式
【方法导引】②式可以直接有理化分母,再化简．但是,不难发现②式分子中 的系数若为“1”,那么原式的值就等于“1”了!因此,②可以解答如下：
【解】②原式
3．运用配方法
【例4】化简
【解】原式
【解后评注】注意这时是算术根,开方后必须是非负数,显然不能等于“ ”
4．平方法
【例5】化简
【解】∵
∴ ．
【解后评注】对于这类共轭根式 与 的有关问题,一般用平方法都可以进行化简
5．恒等变形公式法
【例6】化简
【方法导引】若直接展开,计算较繁,如利用公式 ,则使运算简化．
【解】原式
6．常值换元法
【例7】化简
【解】令 ,则：
原式
7．裂项法
【例8】化简
【解】原式各项分母有理化得
原式
【例9】化简
【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁,但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和,于是则有如下简
【解】原式
8．构造对偶式法
【例10】化简
【解】构造对偶式,于是没
,
则 , ,
原式
9．由里向外,逐层化简
【解】∵
而
∴原式
【解后评注】对多重根式的化简问题,应采用由里向外,由局部到整体,逐层化简的方法处理．
10．由右到左,逐项化简
【例11】化简
【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系,因此从右向左进行化简．
【解】原式
．
【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键,由平方差公式将多重根号逐层脱去,逐项化简,其环节紧凑,一环扣一环,如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．
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二次根式大小比较的常用方法
二次根式的化简具有极强的技巧性,而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性,对初中生来说是一个难点,但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．
1．根式变形法
【例1】比较 与 的大小
【解】将两个二次根式作变形得
,
∵ ,∴ 即
【解后评注】本解法依据是：当 , 时,① ,则 ；②若 ,则
2．平方法
【例2】比较 与 的大小
【解】 ,
∵ ,∴
【解后评注】本法的依据是：当 , 时,如果 ,则 ,如果 ,则 ．
3．分母有理化法
通过运用分母有理化,利用分子的大小来判断其倒数的大小．
【例3】比较 与 的大小
【解】∵
又∵
∴
4．分子有理化法
在比较两个无理数的差的大小时,我们通常要将其进行分子有理化,利用分母的大小来判断其倒数的大小．
【例4】比较 与 的大小
【解】∵
又∵
∴ ．而
5．等式的基本性质法
【例5】比较 与 的大小
【解法1】∵
又
∴
即
牎窘夂笃雷ⅰ勘窘夥ɡ昧讼旅媪礁鲂灾剩孩俣技由贤桓鍪螅绞拇笮」叵挡槐洌诜歉旱资退堑亩蚊莸拇笮」叵狄恢拢?
【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积,得
又∵ ∴
【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后,两数的大小关系不变．
6．利用媒介值传递法
【例6】比较 与 的大小
【解】∵ ∴
又∵ ∴
∴
【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法,利用数值的传递性进行比较．
7．作差比较法
在对两数进行大小比较时,经常运用如下性质：
① ；②
【例7】比较 与 的大小
【解】∵
∴
8．求商比较法
与求差比较法相对应的还有一种比较的方法,即作商比较法,它运用的是如下性质,当 , 时,则：
① ；②
【例8】比较 与 的大小．
【解】
∵
∴
∴
【解后评注】得上所述,含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法,来求解．有时还需各种方法配合使用,其中根式变形法,平方法是最基本的,对于具体的问题要作具体分析,以求用最佳的方法解出正确的结果．
二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,进行二次根式的化简与运算时,一般遵循以下做法：
①先将式中的二次根式适当化简
②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行,运算中要运用公式 （ , ）
③对于二次根式的除法,通常是先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算．
④二次根式的加减法与多项式的加减法类似,即在化简的基础上去括号与合并同类项．
⑤运算结果一般要化成最简二次根式．
化简二次根式的常用技巧与方法
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还要掌握一些特殊的方法和技巧,会收到事半功倍的效果,下面通过具体的实例进行分类解析．
1．公式法
【例1】计算① ； ②
【解】①原式
②原式
【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”,从而使计算较为简便．
2．观察特征法
【例2】计算：
【方法导引】若直接运用根式的性质去计算,须要进行两次分母有理化,计算相当麻烦,观察原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以 ,即得分子,于是可以简解如下：
【解】原式 ．
【例3】 把下列各式的分母有理化．
（1） ；（2） （ ）
【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁,观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示我们可以用如下解法：
【解】①原式
【方法导引】②式可以直接有理化分母,再化简．但是,不难发现②式分子中 的系数若为“1”,那么原式的值就等于“1”了!因此,②可以解答如下：
【解】②原式
3．运用配方法
【例4】化简
【解】原式
【解后评注】注意这时是算术根,开方后必须是非负数,显然不能等于“ ”
4．平方法
【例5】化简
【解】∵
∴ ．
【解后评注】对于这类共轭根式 与 的有关问题,一般用平方法都可以进行化简
5．恒等变形公式法
【例6】化简
【方法导引】若直接展开,计算较繁,如利用公式 ,则使运算简化．
【解】原式
6．常值换元法
【例7】化简
【解】令 ,则：
原式
7．裂项法
【例8】化简
【解】原式各项分母有理化得
原式
【例9】化简
【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁,但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和,于是则有如下简
【解】原式
8．构造对偶式法
【例10】化简
【解】构造对偶式,于是没
,
则 , ,
原式
9．由里向外,逐层化简
【解】∵
而
∴原式
【解后评注】对多重根式的化简问题,应采用由里向外,由局部到整体,逐层化简的方法处理．
10．由右到左,逐项化简
【例11】化简
【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系,因此从右向左进行化简．
【解】原式
．
【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键,由平方差公式将多重根号逐层脱去,逐项化简,其环节紧凑,一环扣一环,如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．
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二次根式大小比较的常用方法
二次根式的化简具有极强的技巧性,而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性,对初中生来说是一个难点,但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．
1．根式变形法
【例1】比较 与 的大小
【解】将两个二次根式作变形得
,
∵ ,∴ 即
【解后评注】本解法依据是：当 , 时,① ,则 ；②若 ,则
2．平方法
【例2】比较 与 的大小
【解】 ,
∵ ,∴
【解后评注】本法的依据是：当 , 时,如果 ,则 ,如果 ,则 ．
3．分母有理化法
通过运用分母有理化,利用分子的大小来判断其倒数的大小．
【例3】比较 与 的大小
【解】∵
又∵
∴
4．分子有理化法
在比较两个无理数的差的大小时,我们通常要将其进行分子有理化,利用分母的大小来判断其倒数的大小．
【例4】比较 与 的大小
【解】∵
又∵
∴ ．而
5．等式的基本性质法
【例5】比较 与 的大小
【解法1】∵
又
∴
即
牎窘夂笃雷ⅰ勘窘夥ɡ昧讼旅媪礁鲂灾剩孩俣技由贤桓鍪螅绞拇笮」叵挡槐洌诜歉旱资退堑亩蚊莸拇笮」叵狄恢拢?
【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积,得
又∵ ∴
【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后,两数的大小关系不变．
6．利用媒介值传递法
【例6】比较 与 的大小
【解】∵ ∴
又∵ ∴
∴
【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法,利用数值的传递性进行比较．
7．作差比较法
在对两数进行大小比较时,经常运用如下性质：
① ；②
【例7】比较 与 的大小
【解】∵
∴
8．求商比较法
与求差比较法相对应的还有一种比较的方法,即作商比较法,它运用的是如下性质,当 , 时,则：
① ；②
【例8】比较 与 的大小．
【解】
∵
∴
∴
【解后评注】得上所述,含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法,来求解．有时还需各种方法配合使用,其中根式变形法,平方法是最基本的,对于具体的问题要作具体分析,以求用最佳的方法解出正确的结果．
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