如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=23

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．

（1）试判断直线BC与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2√(3)，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）BC与 O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与 O相切．

（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB²=OD²+BD²，即（x+2）²=x²+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD=(1)/(2)OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S_扇形AOB=(60π×4)/(360)=(2π)/(3)，
则阴影部分的面积为S_△ODB-S_扇形DOF=(1)/(2)×2×2√(3)-(2π)/(3)=2√(3)-(2π)/(3)．
故阴影部分的面积为2√(3)-(2π)/(3)．