一个质量为M的圆环用细绳悬连两个质量为m的小球套在环上

Question

一个质量为M的圆环用细绳悬连两个质量为m的小球套在环上

Answer 1

质量为 M的圆环,用细线悬挂,圆环上串着两个质量均为m 的小球,两小球自圆环顶端从静止开始同时向两边滑下,设摩擦可忽略.试求：（1）在圆环不动的条件下,求出悬线张力T随θ的变化规律（θ是小球和圆心连线与垂直于水平面的直线的夹角）（2）小球与圆环的质量比m/M 至少为多大时,圆环才有可能上升?
设圆环半径为R,圆环对小球的支持力为N
mgcosθ-N=mv^2/R
1/2mv^2=mgh
h=R(1-cosθ)
设小球对圆环的竖直方向的作用力为N1,根据牛顿第三定律,有
N1=Ncosθ
则两小球对圆环的总作用力为
F=2N1
则细线的支持力为
F线=Mg+F=Mg+2mg(3cosθ-2)
(2)当小球在水平直径以下的部分作圆周运动时,有
N2-mgcosα=mv^2/R
1/2mv^2=mgH
H=R(1+cosα)
f=2N2cosα
Mg=f
解之得：M/m=4cosα+6cos^2 α
该式是一个二次函数,而且定义域是（0,1】,
根据物理情景求极值.当两小球处于最低点时,能恰好使得圆环上升,这时M/m最小的临界条件.所以当α=0度,即cosα=1时,M/m的值最小,最小值为10.即M/m=10