△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，D是BC的中点，AD=a，则四边形ABDC的面积为34a234a2．

Question

△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，D是

BC

的中点，AD=a，则四边形ABDC的面积为

(√(3))/(4)a²

(√(3))/(4)a²

．

Answer 1

解法一：在ABDC中，∠BAC=60度，所以∠BDC=120°，
∵点D是弧BC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
在△BDC中用正弦定理，得
∴BC=√(3)BD，
设BD=DC=x，那么BC=√(3)x，
用托勒密定理：AD•BC=AB•DC+BD•AC，
即√(3)ax=x•AB+x•AC，
则AB+AC=√(3)a，
S_{四边形ABDC}=S_△ABD+S_△ACD=(1)/(2)（AB•AD•sin∠BAD+AC•AD•sin∠DAC），
=(1)/(2)（AB+AC）AD•sin30°，
=(√(3))/(4)a²；

解法二：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∵D是

BC

的中点，
∴BD=CD，∠BAD=∠FAD，
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在Rt△DBE与Rt△DCF中，

作业帮用户 2017-10-07

问题解析

根据题意求得∠DBC=∠DCB=30°，设BD=DC=x，那么BC=√(3)x，由正弦定理和托勒密定理AB+AC=√(3)a，再根据S_{四边形ABDC}=S_△ABD+S_△ACD，从而求得答案．

名师点评

本题考点：

圆内接四边形的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．

考点点评：

本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，是竞赛题难度偏大．

扫描下载二维码

©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议