设a,b,c∈R+,a+b+c=abc.求证：∑(1/√(a²+1))≤3/2.(∑x表示轮换对称和)普通代数证法我会,如果用三角代换怎么做?

Question

设a,b,c∈R+,a+b+c=abc.
求证：∑(1/√(a²+1))≤3/2.(∑x表示轮换对称和)
普通代数证法我会,如果用三角代换怎么做?

Answer 1

这道题,给你个提示吧
三角形的内角为A、B、C
则有恒等式：
tanA + tanB + tanC = tanA * tanB * tanC
……
这样把不等式左边变成cosA + cosB + cosC,然后把BC用和差化积代换成A,最终能求出≤3/2
再写一段：
cosB+cosC = 2 * cos[(B+C)/2] * cos[(B-C)/2] ≤ 2cos[(B+C)/2] = 2sin(A/2)
cosA = 1 - 2sin²A/2
现在看出来没?
证明0