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已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值.
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已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值.
▼优质解答
答案和解析
设方程x2+ax+b=0的两个根为α,β,
∵方程有整数根,
设其中α,β为整数,且α≤β,
则方程x2+cx+a=0的两根为α+1,β+1,
∴α+β=-a,(α+1)(β+1)=a,
两式相加,得αβ+2α+2β+1=0,
即(α+2)(β+2)=3,
∴
或
解得
或
又∵a=-(α+β)=-[(-1)+1]=0,b=αβ=-1×1=-1,c=-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2,
或a=-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8,b=αβ=(-5)×(-3)=15,
c=-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6,
∴a=0,b=-1,c=-2;或者a=8,b=15,c=6,
∴a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3或a+b+c=8+15+6=29,
故a+b+c=-3,或29.
∵方程有整数根,
设其中α,β为整数,且α≤β,
则方程x2+cx+a=0的两根为α+1,β+1,
∴α+β=-a,(α+1)(β+1)=a,
两式相加,得αβ+2α+2β+1=0,
即(α+2)(β+2)=3,
∴
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解得
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又∵a=-(α+β)=-[(-1)+1]=0,b=αβ=-1×1=-1,c=-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2,
或a=-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8,b=αβ=(-5)×(-3)=15,
c=-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6,
∴a=0,b=-1,c=-2;或者a=8,b=15,c=6,
∴a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3或a+b+c=8+15+6=29,
故a+b+c=-3,或29.
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