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已知整值随机变量X的概率分布为:P(X=k)=1/2^k,k=1,2,
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已知整值随机变量X的概率分布为:P(X=k)=1/2^k,k=1,2,
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答案和解析
∵P(X=k)=1/2^k,k=1,2,...
∴E(x)=1/2+2/4+3/8+4/16+.+n/2^n+.
设Sn=1/2+2/4+3/8+4/16+.+n/2^n ①
∴1/2Sn=1/4+12/8+3/16+.+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) ②
①-②"1/2Sn=1/2+1/4+1/8+.+1/2^n-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)=1-(n+2)/2^(n+1)
∴Sn=2-(n+2)/2^n
∴E(x)=lim(n--->+∞)Sn=2
∴E(x)=1/2+2/4+3/8+4/16+.+n/2^n+.
设Sn=1/2+2/4+3/8+4/16+.+n/2^n ①
∴1/2Sn=1/4+12/8+3/16+.+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) ②
①-②"1/2Sn=1/2+1/4+1/8+.+1/2^n-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)=1-(n+2)/2^(n+1)
∴Sn=2-(n+2)/2^n
∴E(x)=lim(n--->+∞)Sn=2
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