如图是正三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=3，AB=2，若N为棱AB中点．（1）求证：AC1∥平面CNB1；（2）求四棱锥C1-ANB1A1的体积．

Question

如图是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁=3，AB=2，若N为棱AB中点．
（1）求证：AC₁∥平面CNB₁；
（2）求四棱锥C₁-ANB₁A₁的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接BC₁和CB₁交于O点，连ON．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴O为BC₁的中点．又N为棱AB中点，
∴在△ABC₁中，NO∥AC₁，
又NO⊂平面NB₁C，AC₁不属于平面NB₁C，
∴AC₁∥平面NB₁C；（6分）

（Ⅱ）∵ANB₁A₁是直角梯形，AN=1，A₁B₁=2，AA₁=3，∴四边形ANB₁A₁面积为(9)/(2)，
∵CN⊥平面ANB₁A₁，∴四棱锥C-ANB₁A₁的体积为(3√(3))/(2)．（13分）