如图所示，不可伸长的轻绳穿过光滑竖直固定细管，细管长为l，两端拴着质量分别为m、2m的小球A和小物块B，拉着小球A使它停在管的下端，这时物块B离管的下端距离为l，管的下端离水平地

Question

如图所示，不可伸长的轻绳穿过光滑竖直固定细管，细管长为l，两端拴着质量分别为m、2m的小球A和小物块B，拉着小球A使它停在管的下端，这时物块B离管的下端距离为l，管的下端离水平地面的距离为2l，拉起小球A，使绳与竖直方向成一定夹角，给小球A适当的水平速度，使它在水平面内做圆周运动，上述过程中物块B的位置保持不变，已知重力加速度为g．

（1）求绳与竖直方向夹角θ和小球A做圆周运动的角速度w₁；
（2）在小球A做圆周运动时剪断轻绳，求小球A第一次落地点到物块B落地点的距离s；
（3）若小球A从管的下端拉起时带动物块B上移，B到管下某位置时使小球A在水平面内做角速度w₂的圆周运动，求整个过程中人对A、B系统做的功W．

Answer 1

（1）小球A在重力和轻绳的拉力作用下在水平面内做圆周运动，则：
轻绳的拉力为：T=2mg
竖直方向受力平衡：Tcosθ-mg=0
水平方向由牛顿第二定律得：Tsinθ=mω₁²lsinθ
代入数据联立解得：θ=60⁰，ω₁=√((2g)/(l))．
（2）在小球A做圆周运动时剪断轻绳，A做平抛运动，设平抛运动的时间为t，则
竖直方向上有：(5)/(2)l=(1)/(2)gt²
平抛的初速度：v₁=ω₁lsinθ
由几何关系有：s=√((v1t)2+(lsinθ)2)
代入数据联立解得：s=(√(33))/(2)l
（3）设B物体位置上移x，小球A做圆周运动时轻绳与竖直方向的夹角为α，则
竖直方向受力平衡：Tcosα-mg=0
水平方向由牛顿第二定律得：Tsinα=mω₂²（l+x）sinα
解得：x=(2g)/(ω22)-l
由功能关系有：W=2mgx+mg[l-（l+x）cosα]+(1)/(2)m[（l+x）ω₂sinα]²
解得：W=(9mg2)/(2ω22)-mg
答：（1）绳与竖直方向夹角为60⁰；小球A做圆周运动的角速度为√((2g)/(l))；
（2）小球A第一次落地点到物块B落地点的距离为(√(33))/(2)l；
（3）整个过程中人对A、B系统做的功为(9mg2)/(2ω22)-mg．