设函数f（x）是定义在R上的偶函数．若当x≥0时，f(x)＝|1−1x0x＞0；，x＝0.（1）求f（x）在（-∞，0）上的解析式．（2）请你作出函数f（x）的大致图象．（3）当0＜a＜b时，若f（a）=f（b），

Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数．若当x≥0时，f(x)＝

|1−(1)/(x)

0

x＞0；，

x＝0.

（1）求f（x）在（-∞，0）上的解析式．
（2）请你作出函数f（x）的大致图象．
（3）当0＜a＜b时，若f（a）=f（b），求ab的取值范围．
（4）若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，求b，c满足的条件．

Answer 1

（1）当x∈（-∞，0）时，f(x)＝f(−x)＝|1−(1)/(−x)|＝|1+(1)/(x)|．…（4分）
（2）f（x）的大致图象如下：．
…（8分）
（3）因为0＜a＜b，所以f（a）=f（b）⇔|1−(1)/(a)|＝|1−(1)/(b)|⇔(1−(1)/(a))2＝(1−(1)/(b))2⇔(1)/(a)+(1)/(b)＝2，…（11分）⇔a+b＝2ab＞2√(ab)
解得ab的取值范围是（1，+∞）．…（13分）
（4）由（2），对于方程f（x）=a，当a=0时，方程有3个根；当0＜a＜1时，方程有4个根，当a≥1时，方程有2个根；当a＜0时，方程无解．…（15分）
所以，要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一个在区间（0，1）的正实数根和一个等于零的根．
所以c=0，f（x）=-b∈（0，1），即-1＜b＜0，c=0．…（18分）