求函数sint×cost的傅里叶变换

Question

求函数sint×cost的傅里叶变换

Answer 1

傅立叶变换分好几种的,我只知道把它展开成傅立叶级数
因为 |sin(t)| 是偶函数 求和的不好表示暂且用＃表示“si各码”
x(t)=a0/2+＃an*cosnt
an=2/pai∫(0,pai)sintcosnt dt (0,pai)代表积分上下限
=1/pai∫(0,pai)[sin(n+1)t-cos(n-1)t] dt
然后把它分开积分
＝[－1/pai*(n+1)]*[cos(n+1)pai -1]+ [1/pai*(n-1)]*[cos(n-1)pai -1]
当n＝0,2,4,6……时
an＝-4/pai*(n^2-1)
当n＝1,3,5,7……时
an＝0
由于x(t)时一个连续函数,所以级数收敛于x(t)
于是
a0＝1/pai ∫(-pai,pai) sint dt
=1/pai ∫(0,pai) sint dt + 1/pai ∫(-pai,0) (-sint) dt
=4/pai
所以x(t)=a0/2+＃an*cosnt
=2/pai-＃[4/pai*(n^2-1)]*cosnt 负无穷