不可约多项式已知f(x)=x(5-x),P1(x)=f(x)-2;P2(x)=f(f(x))-2;...Pn(x)以此类推,如何证明Pn(x)在有理数域内不可约呢?

Question

不可约多项式
已知f(x)=x(5-x),P_1(x)=f(x)-2; P_2(x)=f(f(x))-2; ...P_n(x)以此类推,如何证明P_n(x)在有理数域内不可约呢?

Answer 1

反证法,假设P_n(x)在有理数域内可约,则P_n(x)=0至少有一有理根,设其为b/a,
则 P_n(b/a)=f(P_n-1(b/a)+2) -2 =(P_n-1(b/a)+2) [5-(P_n-1(b/a)+2)] -2 =0
即 P_n-1(b/a)+2 为 x(5-x)-2=0 的根,x(5-x)-2=0 的根 为(5+√17)/2 或(5-√17)/2 ,
所以 P_n-1(b/a)+2 = 无理数 ,P_n-1(x)+2 =ff……f（x）为有理多项式,b/a为有理数
所以 P_n-1(b/a)+2=有理数 ≠ 无理数,矛盾
所以P_n(x)在有理数域内不可约