（2014•安徽模拟）如图，已知三棱柱P-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC的中点．（1）求证；A1B∥平面AMC1；（2）求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值．．

Question

（2014•安徽模拟）如图，已知三棱柱P-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC的中点．
（1）求证；A₁B∥平面AMC₁；
（2）求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值．．

Answer 1

（1）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OM．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．
又∵M为BC中点，
∴OM为△A₁BC中位线，
∴A₁B∥OM，
∵OM⊂平面AMC₁，A₁B⊄平面AMC₁，
∴A₁B∥平面AMC₁．
（2）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁两两垂直．可建立如图空间直角坐标系B-xyz．
设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），M（1，0，0）．
则

AM

=（1，-2，0），

AC1

=（2，-2，1），
设平面AMC₁的法向量为

m

=（x，y，z），则有

x−2y＝0

2x−2y+z＝0

所以取y=1，得

m

=（2，1，-2）．
又∵

CC1

=（0，0，1）
∴直线CC₁与平面AMC₁所成角θ满足sinθ=

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作业帮用户 2017-09-27

问题解析

（1）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明 A₁B∥OM可；
（2）可判断BA，BC，BB₁两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面AMC₁的法向量、直线CC₁的阐释，向量，代入向量夹角公式，可求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题考查线面平行，考查线面夹角，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量的方法解决线面角、线线角．

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