已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点，求m的取值范围．（其中自然对数的底数e为无理数且e=2.271828…）

Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点，求m的取值范围．（其中自然对数的底数e为无理数且e=2.271828…）

Answer 1

（I）函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx的定义域是（0，+∞）．f′(x)＝2x−(a+2)+(a)/(x)＝(2x2−(a+2)x+a)/(x)＝(2(x−(a)/(2))(x−1))/(x)
①当a≤0时，f'（x）≤0在（0，1]上恒成立，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≤0时，f（x）的增区间为[1，+∞），
f（x）的减区间为（0，1]
②当0＜a＜2时，f′(x)≥0在(0，(a)/(2)]∪[1，+∞)上恒成立，f′(x)≤0在[(a)/(2)，1]上恒成立．
∴0＜a＜2时f(x)的增区间为(0，(a)/(2)]，[1，+∞)，f(x)的减区间为[(a)/(2)，1]．
③当a=2时，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a=2时，f（x）的增区间为（0，+∞）．
④当a＞2时，f′(x)≥0在(0，1]和[(a)/(2)，+∞)上恒成立，f′(x)≤0在[1，(a)/(2)]上恒成立，∴a＞2时，f(x)的增区间为(0，1]和[(a)/(2)，+∞)，f(x)的减区间为[1，(a)/(2)]．
（II）若a=4，由（I）可得f（x）在（0，1]上单调增，在[1，2]上单调减，在[2，+∞）上单调增．
∴f（x）_极小值=f（2）=4ln2-8，f（x）_极大值=f（1）=-5
∴y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点时m的取值范围是（4ln2-8，-5）．