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(2013•泰安二模)某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,若每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器
题目详情
(2013•泰安二模)某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,若每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(6≤x≤12)之间满足关系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件装次品将亏损1万元.(利润=盈利-亏损)
(Ⅰ)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数;
(Ⅱ)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?
(Ⅰ)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数;
(Ⅱ)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题意得,所获得的利润为y=10[2(x-p)-p]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,y′=
=
当4≤x<6时,y′>0,函数在[4,6]上为增函数;当6<x≤12时,y′<0,函数在[6,12]上为减函数,
∴当x=6时,函数取得极大值,且为最大值,最大利润为y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(万元)
答:当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大,最大利润为96ln6-78万元.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,y′=
−6x2+20x+96 |
x |
−2(3x+8)(x−6) |
x |
当4≤x<6时,y′>0,函数在[4,6]上为增函数;当6<x≤12时,y′<0,函数在[6,12]上为减函数,
∴当x=6时,函数取得极大值,且为最大值,最大利润为y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(万元)
答:当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大,最大利润为96ln6-78万元.
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