解下列方程:3sin^2-sin2x-cos^2x=0sin3x=sinxsin2x=cos3x一共三题

Question

解下列方程:3sin^2-sin2x-cos^2x=0
sin3x=sinx
sin2x=cos3x
一共三题

Answer 1

解下列方程:
1.3sin²x-sin2x-cos²x=0
3sin²x-sin2x-cos²x=3sin²x-2sinxcosx-cos²x=(3sinx+cosx)(sinx-cosx)=0,
由3sinx+cosx=0,得sinx/cosx=tanx=-1/3；故得x₁=kπ-arctan(1/3)；
由sinx-cosx=0,得tanx=1,故得x₂=kπ+π/4.
2.sin3x=sinx
3sinx-4sin³x=sinx；即有2sinx-4sin³x=2sinx(1-2sin²x)=0
故由sinx=0,得x₁=kπ；
由1-2sin²x=0,sinx=±√2/2,得x₂=2kπ+π/4；x₃=(2k+1)π-π/4；x₄=2kπ-π/4；x₅=(2k+1)π+π/4.
3.sin2x=cos3x
2sinxcosx=4cos³x-3cosx；
4cos³x-2sinxcosx-3cosx=cosx(4cos²x-2sinx-3)=cosx(-sin²x-2sinx+1)=-cosx(sin²x+2sinx-1)=0
由cosx=0,得x₁=2kπ±π/2；
由sin²x+2sinx-1=(sin+1)²-2=0,sinx=-1+√2,得x₂=2kπ+arcsin(-1+√2)；x₃=(2k+1)π-arcsin(-1+√2)