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帮我看看这道数学题!写求证设锐角三角形的三条高啊,AD,BE,CF相交于H,若BC=a,AC=b,AB=c,AH*AD+BH*BE+CH*CF=?
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帮我看看这道数学题!写求证
设锐角三角形的三条高啊,AD,BE,CF相交于H,若BC=a,AC=b,AB=c,AH*AD+BH*BE+CH*CF=?
设锐角三角形的三条高啊,AD,BE,CF相交于H,若BC=a,AC=b,AB=c,AH*AD+BH*BE+CH*CF=?
▼优质解答
答案和解析
AH·AD=(AD-DH)·AD
=AD2-DH·AD
又AH·AD=AH(AH+DH)
=AH2+AH·DH,
∴2AH·AD=AD2+AH2-DH·AD+AH·DH
=AC2-CD2+AH2-DH2
=AC2+AH2-CH2. ①
同理2BH·BE=AB2+BH2-AH2 ②
2CH·CF=BC2+CH2-BH2 ③
①+②+③,得
2(AH·AD+BH·BE+CH·CF)
=AC2+AB2+BC2=a2+b2+c2
∴AH·AD+BH
BE+CH·CF=(a2+b2+c2)/2
=AD2-DH·AD
又AH·AD=AH(AH+DH)
=AH2+AH·DH,
∴2AH·AD=AD2+AH2-DH·AD+AH·DH
=AC2-CD2+AH2-DH2
=AC2+AH2-CH2. ①
同理2BH·BE=AB2+BH2-AH2 ②
2CH·CF=BC2+CH2-BH2 ③
①+②+③,得
2(AH·AD+BH·BE+CH·CF)
=AC2+AB2+BC2=a2+b2+c2
∴AH·AD+BH
BE+CH·CF=(a2+b2+c2)/2
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