帮我看看这道数学题!写求证设锐角三角形的三条高啊,AD,BE,CF相交于H,若BC=a,AC=b,AB=c,AH*AD+BH*BE+CH*CF=?

Question

帮我看看这道数学题!写求证
设锐角三角形的三条高啊,AD,BE,CF相交于H,若BC=a,AC=b,AB=c,AH*AD+BH*BE+CH*CF=?

Answer 1

AH·AD=（AD－DH）·AD
=AD2－DH·AD
又AH·AD=AH（AH+DH）
=AH2+AH·DH,
∴2AH·AD=AD2+AH2－DH·AD+AH·DH
=AC2－CD2+AH2－DH2
=AC2+AH2－CH2． ①
同理2BH·BE=AB2+BH2－AH2 ②
2CH·CF=BC2+CH2－BH2 ③
①+②+③,得
2（AH·AD+BH·BE+CH·CF）
=AC2+AB2+BC2=a2+b2+c2
∴AH·AD+BH
BE+CH·CF=(a2+b2+c2)/2