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已知y^2=4a(x-a)(a>0)且当x≥a时,S(x)=(x-3)^2+y^2的最小值为4,则实数a的取值?
题目详情
已知y^2=4a(x-a) (a>0)且当x≥a时,S(x)=(x-3)^2+y^2的最小值为4,则实数a的取值?
▼优质解答
答案和解析
这个题目吧瞅着挺难的,其实只是它的表达方式太复杂
下面简化一下~
将y^2=4a(x-a)代入S(x)=(x-3)^2+y^2得
S(x)=(x-3)^2+4a(x-a)=x^2+(4a-6)x+(9-4a^2)
不难看出这是一个二次函数哦~
它的对称轴是x=3-2a(而且它的开口向上哦)
这样话最小值就好找了~
在看取值范围是x≥a,也不知道这个范围的最左端是在对称轴右边,还是在左边或者就在对称轴上~
需要下面讨论哦~
(1)假设在对称轴的右边即a>3-2a即a>1时,最小值就是S(a)=a^2+(4a-6)a+(9-4a^2)=4
解之得a=1或5
有a>1故舍去1即a=5
(2)假设在对称轴的上即a=3-2a即a=1时,最小值为
S(1)=1^2+(4*1-6)*1+(9-4*1^2)=4成立
符合题意~
(3)假设在对称轴的左边即a<3-2a即0<a<1时
最小值为S(3-2a)=(3-2a)^2+(4a-6)*(3-2a)+(9-4a^2)=4
解之得a=1或1/2又0<a<1故舍去1
则a=1/2
综上所述a=5或1或1/2
下面简化一下~
将y^2=4a(x-a)代入S(x)=(x-3)^2+y^2得
S(x)=(x-3)^2+4a(x-a)=x^2+(4a-6)x+(9-4a^2)
不难看出这是一个二次函数哦~
它的对称轴是x=3-2a(而且它的开口向上哦)
这样话最小值就好找了~
在看取值范围是x≥a,也不知道这个范围的最左端是在对称轴右边,还是在左边或者就在对称轴上~
需要下面讨论哦~
(1)假设在对称轴的右边即a>3-2a即a>1时,最小值就是S(a)=a^2+(4a-6)a+(9-4a^2)=4
解之得a=1或5
有a>1故舍去1即a=5
(2)假设在对称轴的上即a=3-2a即a=1时,最小值为
S(1)=1^2+(4*1-6)*1+(9-4*1^2)=4成立
符合题意~
(3)假设在对称轴的左边即a<3-2a即0<a<1时
最小值为S(3-2a)=(3-2a)^2+(4a-6)*(3-2a)+(9-4a^2)=4
解之得a=1或1/2又0<a<1故舍去1
则a=1/2
综上所述a=5或1或1/2
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