求极限：（1）当n趋向于正无穷时,3^n*sin(兀/3^n)（2）当x趋向于兀/3时,（1-2cosx)/sin(x-兀/3)（3）当x趋向于0时,㏑（1+3x)/arcsinx

Question

求极限：（1）当n趋向于正无穷时,3^n*sin(兀/3^n) （2）当x趋向于兀/3时,（1-2cosx)/sin(x-兀/3)
（3）当x趋向于0时,㏑（1+3x)/arcsinx

Answer 1

(1)、lim(n→∞) 3^n*sin(π/3^n)
=lim(n→∞) sin(π/3^n) / (1/3^n)
=lim(n→∞) π *sin(π/3^n) / (π/3^n)
当n→∞时,1/ 3^n→0,所以π/3^n→0,
故由重要极限,lim(n→∞) sin(π/3^n) / (π/3^n)=1
所以原极限=π * lim(n→∞) sin(π/3^n) / (π/3^n)=π
(2)、lim(x→π/3) (1-2cosx)/sin(x-π/3)
使用洛必达法则,对分子分母同时求导,
原极限=lim(x→π/3) 2sinx / cos(x-π/3)
=2sin(π/3) / cos0=√3 /1= √3
(3)、lim(x→0) ln(1+3x)/arcsinx
易知在x→0的时候,ln(1+x),arcsinx都是x的等价无穷小,
所以ln(1+3x)等价于3x,arcsinx等价于x,
故原极限=lim(x→0) 3x/x= 3