已知y=1-2sinxsin(兀/3+x)sin(兀/3-x)时候,求y的最大值

Question

已知y=1-2sinxsin(兀/3+x)sin(兀/3-x)时候,求y的最大值

Answer 1

y=1-2sinxsin(π/3+x)sin(π/3-x)
=1-sinx(cos2x-cos2π/3)（积化和差公式）
=1-(3/2)sinx+2(sinx)^3
令t=sinx,则y=1-(3/2)t+2t^3,t∈[-1,1]
任取t1,t2∈[-1,-1/2]且t1＜t2,则t2-t1＞0
f(t2)-f(t1)=2(t2-t1)[(t1)^2+(t1)(t2)+(t2)^2]-(3/2)(t1-t2)
=(t2-t1)[2(t1)^2+2(t1)(t2)+2(t2)^2-3/2]
而2(t1)^2+2(t1)(t2)+2(t2)^2-3/2＞2(-1/2)^2+2(-1/2)(-1/2)+2(-1/2)^2-3/2=0
∴f(t2)-f(t1)＞0
即f(t2)＞f(t1)
故y=f(t)在[-1,-1/2]上单调递增.
同理可证y=f(t)在[1/2,1]上单调递增,
在[-1/2,1/2]上单调递减.
故y=f(t)在t=-1/2或t=1处取得最大值.
而f(-1/2)=f(1)=3/2
所以,y的最大值是3/2.