已知O是△ABC的内一点,求证O是△ABC的重心的充要条件是OA+OB+OC=0向量解法

Question

已知O是△ABC的内一点,求证O是△ABC的重心的充要条件是OA+OB+OC=0
向量解法

Answer 1

必要性证明：设O为重心,E为BC中点.
OA=（2/3）EA==（2/3）（EB+BA）==（2/3）（CB/2+BA）＝（CB+2BA）/3
同理,OB＝（AC+2CB）/3.OC＝（BA+2AC）/3.
CA+OB+OC＝（3CB+3BA+3AC）/3＝CC＝0.
充分性证明：如图：OA＝｛-x,-y｝.OB＝｛a-x.-y｝.OC＝｛b-x,c-y｝.
OA+OB+OC＝｛-x+a-x+b-x,-y-y+c-y｝＝0
-x+a-x+b-x=0.x=（a+b）/3.,-y-y+c-y=0,y＝c/3.即O（（a+b）/3,c/3）
请  564663878 朋友 自己验证.O（（a+b）/3,c/3）正是⊿ABC的重心.