已知数列{an}的前n项和为Sn=aqn+b（a≠0，q≠0，1），求证：数列{an}为等比数列的充要条件是a+b=0．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=aqⁿ+b（a≠0，q≠0，1），求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件是a+b=0．

Answer 1

证明：充分性：当a+b=0时，a₁=S₁=aq+b=a（q-1）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．
当n=1时也成立．
于是(an+1)/(an)=(aqn(q-1))/(aqn-1(q-1))=q（n∈N₊），
即数列{a_n}为等比数列．
必要性：当n=1时，a₁=S₁=aq+b．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．
∵q≠0，q≠1．
∴(an+1)/(an)=(an+1)/(an)=(aqn(q-1))/(aqn-1(q-1))=q（n∈N₊），
∵{a_n}为等比数列，
∴(a2)/(a1)=(an+1)/(an)=q，(aq2-aq)/(aq+b)=q，
即aq-a=aq+b．∴a+b=0．
综上所述，a+b=0是数列{a_n}为等比数列的充要条件．