（2001•湖州）已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，△EDF的面积

Question

（2001•湖州）已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大，最大面积是多少？
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长．

Answer 1

（1）∵△ABC是正三角形，且ED∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，
∴CD=DF÷sin60°=(2√(3))/(3)x．
∠EDF=90°，
BD=BC-CD=ED=4-(2√(3))/(3)x．
y=DF×ED÷2=(1)/(2)x（4-(2√(3))/(3)x）=-(√(3))/(3)x²+2x，
∵D在BC上，
∴CD＜4，
当CD=4时，CF=2，DF=2√(3)，
DF≤2√(3)（等于2√(3)时，D和B重合）
∴自变量x的取值范围0≤x≤2

作业帮用户 2017-10-20

问题解析

（1）判断出△BDE和△DEF的形状，利用60°的正弦值用DF表示出DC，进而得到BD，DE，利用三角形的面积公式求得函数关系式．
（2）由相似得到△DEF是含30°的直角三角形，可利用所给的2个特殊的直角三角形都用BD表示出DF的长度，然后即可求得BD长．

名师点评

本题考点：

等边三角形的性质；二次函数的最值；相似三角形的性质；解直角三角形．

考点点评：

考查特殊三角形的判断以及特殊三角函数值的充分运用．

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