一曲线过点(e,1),且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率为（-xlnx）/(x+ylnx),则此典线方程为?

Question

一曲线过点(e,1),且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率为（-xlnx）/(x+ylnx),则此典线方程为?

Answer 1

一曲线过点(e,1),且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率为（-xlnx）/(x+ylnx),则此曲线方程为?
所求曲线上的任一点的切线与过该点的法线垂直,因此曲线上任一点的导数等于其法线斜率的负到数.即：
dy/dx=-(x+ylnx)/(-xlnx)=(x+ylnx)/(xlnx)=(1/lnx)+y/x
dy/dx-(y/x)=1/lnx.(1)
解此方程.先求齐次方程dy/dx-(y/x)=0的通解.
分离变量得dy/y=dx/x；积分之得lny=lnx+lnC₁=ln(C₁x)
故得y=C₁x；把C₁换成x的函数u,得y=ux.(2)
对(2)的两边取导数得dy/dx=x(du/dx)+u.(3)
将(2)(3)代入(1)式得：x(du/dx)+u-(ux)/x=1/lnx
即有x(du/dx)=1/lnx
分离变量得du=(x/lnx)dx
积分之,得u=∫(x/lnx)dx+C,代入(2)是即得原方程的通解为：
y=x[∫(x/lnx)dx+C]
【这个积分∫(x/lnx)dx好像不太好求,你自己试试看.】
解出这个不定积分后,再代入初始条件x=e时y=1,就可求出积分常数C,然后获得特解.