随机变量XY同分布的问题大神们帮帮忙设随机变量X,Y同分布X的分布为X-10-1p1/41/21/4且P（XY=0）=1求P（X=Y）=?

Question

随机变量XY同分布的问题大神们帮帮忙
设随机变量X,Y同分布 X的分布为 X -1 0 -1 p 1/4 1/2 1/4 且P（XY=0）=1 求P（X=Y）=?

Answer 1

由P（XY=0）=1得出P(X=0,Y=-1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=-1,Y=0)+P(X=1,Y=0)=1, 由条件概率公式可得 P(Y=-1)P(X=0|Y=-1)+P(Y=0)P(X=0|Y=0)+P(Y=1)P(X=0|Y=1)+P(Y=0)P(X=-1|Y=0)+P(Y=0)P(X=1|Y=0)=1, 即(1/4)P(X=0|Y=-1)+(1/2)P(X=0|Y=0)+(1/4)P(X=0|Y=1)+(1/2)P(X=-1|Y=0)+(1/2)P(X=1|Y=0)=1 又因为P(X=0|Y=0)+P(X=-1|Y=0)+P(X=1|Y=0)=1, 上面等式可化为P(X=0|Y=-1)+P(X=0|Y=1)=2,得出P(X=0|Y=-1)=P(X=0|Y=1)=1,同理P(Y=0|X=-1)=P(Y=0|X=1)=1, 可得P(X=0|Y=0)+P(X=-1|Y=0)+P(X=1|Y=0)=1,由贝叶斯公式可得P(X=-1|Y=0)=P(X=-1)P(Y=0|X=-1)/P(Y=0)=1/2,P(X=1|Y=0)=1/2,得出P(X=0|Y=0)=0. 由P(X=0|Y=-1)=P(X=0|Y=1)=1得出P(X=1|Y=-1)=P(X=-1|Y=-1)=0,P(X=-1|Y=1)=P(X=1|Y=1)=0, P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=0)=0+0+0=0