设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，Sn+m=Sm+qmSn总成立．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较amm•ahh

Question

设首项为a₁的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，S_n+m=S_m+q^mS_n总成立．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较a_m^m•a_h^h与a_k^2k的大小；
（Ⅲ）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较

a

(1)/(m) m

•

a

(1)/(h) h

与

a

(2)/(k) k

的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证：因为对任意正整数n，m，S_n+m=S_m+q^mS_n总成立，
令n=m=1，得S₂=S₁+qS₁，则a₂=qa₁
令m=1，得S_n+1=S₁+qS_n（1），从而S_n+2=S₁+qS_n+1（2），
（2）-（1）得a_n+2=qa_n+1，（n≥1）
综上得a_n+1=qa_n（n≥1），所以数列{a_n}是等比数列
（Ⅱ）正整数m，k，h成等差数列，
则m+h=2k，
所以m2+h2＞(1)/(2)(m+h)2＝2k2，
则

a

m m

•

a

h h

＝

a

m 1

qm2−m

a

h 1

qh2−h＝

a

2k 1

qm2+h2−m−h
①当q=1时，a_m^m•a_h^h=a₁^2k=a_k^2k
②当q＞1时，

a

m m

•

a

h h

＝

a

2k 1

qm2+h2−m−h＞

a

2k 1

q2k2−2k＝(a1qk−1)2k＝

a

2k k

③当0＜q＜1时，

a

m m

•

a

h h

＝

a

2k 1

qm2+h2−m−h＜

a

2k 1

q2k2−2k＝(a1qk−1)2k＝

a

2k k

（Ⅲ）正整数m，k，h成等比数列，则m•h=k²，则(1)/(m)+(1)/(h)＞2

作业帮用户 2017-10-01

问题解析

（Ⅰ）令n=m=1，得a₂=qa₁，令m=1，得S_n+1=S₁+qS_n（1），从而S_n+2=S₁+qS_n+1两式相减即可得出a_n+2=qa_n+1，进而可判断出数列{a_n}是等比数列
（Ⅱ）根据m，k，h成等差数列，可知m+h=2k，进而可判定m2+h2＞(1)/(2)(m+h)2＝2k2，进而根据等比数列的通项公式分q大于、等于和小于1三种情况判断．
（Ⅲ）正整数m，k，h成等比数列，则m•h=k²，判断出(1)/(m)+(1)/(h)＞2√((1)/(mh))＝(2)/(k)，进而根据等差根据等比数列的通项公式分a₁和q大于、等于和小于1三种情况判断．

名师点评

本题考点：

等比关系的确定；不等式比较大小；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评：

本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质．等比数列常与不等式一块考查，应引起重视．

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