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如图,P是等边△ABC内的一点,且PA=4,PB=23,PC=2.求:(1)∠BPC,∠APB的度数;(2)S△ABC.

题目详情
如图,P是等边△ABC内的一点,且PA=4,PB=2
3
,PC=2.求:
(1)∠BPC,∠APB的度数;
(2)S△ABC
▼优质解答
答案和解析
(1)作BH⊥PC于H,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴BA=BC,∠ABC=60°,
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,连接PD,如图,
∴CD=AP=4,BD=BP=2
3
,∠PBD=60°,
∴△PBD为等边三角形,
∴PD=PB=2
3
,∠BPD=60°,
在△PDC中,∵PC=2,PD=2
3
,CD=4,
∴PC2+PD2=CD2
∴△PCD为直角三角形,∠CPD=90°,
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°,
∴∠BPH=30°,
在Rt△PBH中,∵∠BPH=30°,PB=2
3

∴BH=
1
2
PB=
3
,PH=
3
BH=3,
∴CH=PC+PH=2+3=5,
在Rt△BCH中,BC2=BH2+CH2=(
3
2+52=28,
∴AB2=28,
在△ABP中,∵PB2=(2
作业帮用户 2017-10-15
问题解析
(1)作BH⊥PC于H,如图,根据等边三角形的性质得BA=BC,∠ABC=60°,于是可把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,连接PD,如图,根据旋转的性质得CD=AP=4,BD=BP=2
3
,∠PBD=60°,则可判断△PBD为等边三角形,所以PD=PB=2
3
,∠BPD=60°,然后利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形,∠CPD=90°,易得∠BPC=150°,利用平角等于有∠BPH=30°,在Rt△PBH中,根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH=
1
2
PB=
3
,PH=
3
BH=3,则CH=5;在Rt△BCH中,根据勾股定理计算出BC2=28,则AB2=28,在△ABP中再次利用勾股定理的逆定理可证明△APB为直角三角形,得到∠APB=90°;
(2)根据等边三角形的面积公式求解.
名师点评
本题考点:
旋转的性质;等边三角形的性质;勾股定理的逆定理.
考点点评:
本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理.
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