已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.(1)如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；(2)如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、

Question

已知凸四边形 ABCD 中，∠ A= ∠ C=90 ° .

(1) 如图 1 ，若 DE 平分∠ ADC ， BF 平分∠ ABC 的邻补角，判断 DE 与 BF 位置关系并证明；

(2) 如图 2 ，若 BF 、 DE 分别平分∠ ABC 、∠ ADC 的邻补角 判断 DE 与 BF 位置关系并证明。

Answer 1

(1) 延长 DE 交 BF 于点 G ………（ 1 分）

∵∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C+ ∠ ADC=360 °

又∵∠ A= ∠ C=90 °，

∴∠ ABC+ ∠ ADC=180 °

∵∠ ABC+ ∠ MBC=180 °

∴∠ ADC= ∠ MBC …………（ 2 分）

∵ DE 、 BF 分别平分∠ ADC 、∠ MBC

∴∠ EDC= ∠ ADC ∠ EBG= ∠ MBC ，（ 3 分）

∴∠ EDC= ∠ EBG …………（ 4 分）

∵∠ EDC+ ∠ DEC+ ∠ C=180 °

∠ EBG+ ∠ BEG+ ∠ EGB=180 °

又∵∠ DEC= ∠ BEG  ∴∠ EGB= ∠ C=90

∴ DE ⊥ BF ……………（ 5 分）

(2) 连接 BD …… …………（ 6 分）

∵ DE 、 BF 分别平分∠ NDC 、∠ MBC

∴∠ EDC= ∠ NDC ∠ FBC= ∠ MBC ，（ 7 分）

∵∠ ADC+ ∠ NDC=180 °

又∵∠ ADC= ∠ MBC

∴∠ MBC+ ∠ NDC=180 °

∴∠ EDC+ ∠ FBC= 90 °………………（ 8 分）

∵∠ C=90 ° ∴∠ CDB+ ∠ CBD=90 °

∴∠ EDC+ ∠ CDB + ∠ FBC + ∠ CBD=180 °

即∠ EDB+ ∠ FBD=180 °……………（ 9 分）

∴ D E ∥ BF ……………（ 10 分）