如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

Question

如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

Answer 1

连结ID、IE、IF，如图，
∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB=√(AC2+BC2)=10，
∴外心O为AB的中点，
∴BO=(1)/(2)AB=5，
连结OI，如图，
设⊙I的半径为r，
∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，
∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD=AF，BE=BF，
而∠C=90°，
∴四边形IDCE为正方形，
∴DC=CE=r，
∴AD=AC-DC=8-r，BE=BC-CE=6-r，
∴AF=8-r，BF=6-r，
而AF+BF=AB，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴BF=6-r=4，
∴OF=OB-BF=5-4=1，
在Rt△IOF中，IF=2，OF=1，
∴IO=√(OF2+IF2)=√(5)，
即Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离为√(5)．