已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀>0，则a的取值范围是（　　）
A. （2，+∞）
B. （1，+∞）
C. （-∞，-2）
D. （-∞，-1）

Answer 1

当a=0时，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±(√(3))/(3)，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a>0时，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-(2)/(a)）=0，解得x=0或x=(2)/(a)>0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，(2)/(a)）	(2)/(a)	（(2)/(a)，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1>0，
∴存在x<0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀>0，应舍去．
当a<0时，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-(2)/(a)）=0，解得x=0或x=(2)/(a)<0，列表如下：

x	（-∞，(2)/(a)）	(2)/(a)	（(2)/(a)，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而f（0）=1>0，x→+∞时，f（x）→-∞，
∴存在x₀>0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀>0，
∴极小值f（(2)/(a)）>0，化为a²>4，
∵a<0，∴a<-2．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）．
故选：C．