1.已知a,b,c∈R.a＋b＋c＝1a²＋b²＋c²＝1/2求证c≥02（1）已知a，c是正实数且满足a＋b＋c=1求证a²+b²+c²≥1/3（2）已知a,b,c是三角形的三条边。求证a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(b+a-c)≥3

Question

1.已知a,b,c∈R.a＋b＋c＝1 a²＋b²＋c²＝1/2 求证c≥0
2（1）已知a，c是正实数 且满足a＋b＋c=1求证 a²+b²+c²≥1/3
（2）已知a,b,c是三角形的三条边。求证a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(b+a-c)≥3

Answer 1

第一题：
根据已知条件,有：
a+b=1-c ...(1)
a^2+b^2=(1/2)-c^2 ...(2) 注：a^2表示a的平方,下同
(1)平方减(2)得：
ab=c^2-c+(1/4) ...(3)
由(1)、(3)可知a、b是关于方程x^2-(1-c)x+(c^2-c+(1/4))=0的两个根.因为a、b是实数,根据韦达定理有：
△=(1-c)^2-4(c^2-c+(1/4))>=0,化简得：3c^2-2c=
0
于是3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2,即证
第二题第二问：
令x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c.因为a、b、c是三角形的三边,所以x、y、z均是正数
注意a=(y+z)/2,b=(z+x)/2,c=(x+y)/2,于是：
a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(b+a-c)=
(1/2)[(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z]=
(1/2)[(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)]>=
(1/2)[2+2+2]=
3
注意中间利用了a^2+b^2>=2ab,于是y/x+x/y>=2√[(y/x)*(x/y)]=2,同理证明另外两个也大于等于2