已知函数f（x）=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+13mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及当x取何值时

Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+(1)/(3)mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及当x取何值时函数g（x）分别取得极大和极小值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可得切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0①，
又f′（x）=3x²+4bx+c，由已知f′（2）=12+8b+c=5，即8b+c+7=0②
由①②解得c=1，b=-1，
于是函数解析式为f（x）=x³-2x²+x-2；
（Ⅱ）g（x）=x³-2x²+x-2+(1)/(3)mx，导数g′（x）=3x²-4x+1+(1)/(3)m，
令g′（x）=0，当g（x）的极值存在时，3x²-4x+1+(1)/(3)m=0必有实根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=(2)/(3)，在x=(2)/(3)左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，x₁=(1)/(3)（2-√(1−m)），x₂=(1)/(3)（2+√(1−m)），
由g′（x）＞0得x＞x₂或x＜x₁；由g′（x）＜0得x₁＜x＜x₂．
故当m＜1时，函数g（x）有极值：当x=(1)/(3)（2-√(1−m)）时g（x）有极大值；
当x=(1)/(3)（2+√(1−m)）时g（x）有极小值．