求这个极限lim(tanx-x/x^3)x趋于0正的时候tanx-x与x立方的商的极限x-0没学过泰勒公式怎么办

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求这个极限
lim(tanx-x/x^3) x趋于0正的时候 tanx-x与x立方的商的极限
x-0
没学过泰勒公式怎么办

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答案和解析

分子分母都趋于0,用洛必达法则,分别求导；
tanx导数为1/(cosx)^2,x求导为1,则分子导数为(tanx)^2
分母导数为3x^2.
分子分母仍旧均趋于0,再次求导得
分子为2tanx*1/(cosx)^2=2sinx/(cosx)^3,分母为6x;仍旧满足洛必达法则,再次求导
分子为2(cosx)^2((cosx)^2+3(sinx)^2)=2(cosx)^2（1+2(sinx)^2)),分母为6,
所以极限为1/3

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