已知动直线l与椭圆C：交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积，其中O为坐标原点．（Ⅰ）证明：x12+x22和y12+y22均为定值；（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|O

Question

已知动直线l与椭圆C： 交于P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ）两不同点，且△OPQ的面积 ，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：x ₁ ² +x ₂ ² 和y ₁ ² +y ₂ ² 均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得 ？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则 ，
由 在椭圆上，则 ，
而 ，则 ，
于是 ， ；
当直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，
代入 可得 ，
即 ，△＞0，
即 ，
，
，
，
，
则 ，满足△＞0，
，
；
综上可知 ， 。
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知 ；
当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知 ，
，
，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立；
综上可知 的最大值为 。
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点D，E，G，使得 ，
由（Ⅰ）知 ，
，
解得 ， ，
因此 只能从 中选取， 只能从±1中选取，
因此D，E，G只能从 中选取三个不同点，
而这三点的两两连线必有一个过原点，这与 相矛盾，
故椭圆上不存在三点D，E，G，使得 。