已知mεC,关于x的方程x2+mx+3+4i=0有实数解,求复数m的模的取值范围

Question

已知mεC,关于x的方程x2+mx+3+4i=0有实数解,求复数m的模的取值范围

Answer 1

令m=a+bi
x²+(a+bi)x+3+4i=0
(x²+ax+3)+(bx+4)i=0
要等式成立,实部=0且虚部=0 bx+4=0 x=-4/b b≠0
x²+ax+3=0
(-4/b)²+a(-4/b)+3=0
整理,得4ab=3b²+16
a=(3b²+16)/4b
|m|=√(a²+b²)
=√[(3b²+16)²/16b²+b²]
=√(25b²/16+16/b²+96)
由均值不等式得,当25b²/16=16/b²时,即b²=16/5时,25b²/16+16/b²有最小值10.
此时|m|有最小值|m|min=√106
复数m的模的取值范围为[√106,+∞)