质量为m的机车头拖着质量均为m的n节车厢在平直轨道上以速度v匀速行驶，设机车头和各节车厢受到的阻力均为f，行驶中后面有一节车厢脱落，待脱落车厢停止运动时后面又有一节车厢脱落

Question

质量为m的机车头拖着质量均为m的n节车厢在平直轨道上以速度v匀速行驶，设机车头和各节车厢受到的阻力均为f，行驶中后面有一节车厢脱落，待脱落车厢停止运动时后面又有一节车厢脱落，各节车厢按此方式依次脱落，整个过程中机车头的牵引力保持不变，问：

（1）最后面一节车厢脱落后，机车头和剩下的车厢的加速度是多大？
（2）最后面一节车厢脱落后，当它停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度是多大？
（3）全部车厢脱落并停止运动时，机车头的速度是多大？

Answer 1

（1）最后面一节车厢脱落后，根据牛顿第二定律得
  机车头和剩下的车厢的加速度a₁=(F−nf)/(nm)
又由匀速运动时，F=（n+1）f，得
  a₁=(f)/(nm)
（2）最后面一节车厢脱落后，加速度大小为a′=(f)/(m)
最后面一节车厢从脱落到停止运动的时间为t₁=(v)/(a′)=(mv)/(f)，
则当它停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度v₁=v+a₁t₁=v+(f)/(nm)•(mv)/(f)=(1+n)/(n)v
（3）第二节车厢脱离：
v₂=v₁+a₂t₂=v1+(2f)/((n−1)m)•(mv1)/(f)=((1+n)v1)/(n−1)=((1+n)2v)/(n(n−1))
第三节车厢脱离：
v₃=v₂+a₃t₃=v2+(3f)/((n−2)m)•(mv2)/(f)=((1+n)v2)/(n−2)=((1+n)3v)/(n(n−1)(n−2))
…
同理可得：v_n=((1+n)n)/(n(n−1)(n−2)…2•1)=((1+n)nv)/(n!)
答：
（1）最后面一节车厢脱落后，机车头和剩下的车厢的加速度是(f)/(nm)．
（2）最后面一节车厢脱落后，当它停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度是(1+n)/(n)v．
（3）全部车厢脱落并停止运动时，机车头的速度是((1+n)nv)/(n!)．