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(2013•高淳县一模)如图①,若点P是△ABC内或边上一点,且∠BPC=2∠A,则称点P是△ABC内∠A的二倍角点.(1)如图②,点O等边△ABC的外心,连接OB、OC.①求证:点O是△ABC内∠A的一个二倍

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(2013•高淳县一模)如图①,若点P是△ABC内或边上一点,且∠BPC=2∠A,则称点P是△ABC内∠A的二倍角点.
(1)如图②,点O等边△ABC的外心,连接OB、OC.
①求证:点O是△ABC内∠A的一个二倍角点;
②作△BOC的外接圆,求证:弧BOC上任意一点(B、C除外)都是△ABC内∠A的二倍角点.
(2)如图③,在△ABC的边AB上求作一点M,使点M是△ABC内∠A的一个二倍角点(要求用尺规作图,保留作图痕迹,并写出作法).
(3)在任意三角形形内,是否存在一点P同时为该三角形内三个内角的二倍角点?请直接写出结论,不必说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)①∵点O等边△ABC的外心,
∴∠BOC=2∠A,
又∵点O在△ABC内,
∴点O是△ABC内∠A的一个二倍角点.…(2分)

②设O′弧BOC上任意一点,
则∠BO′C=∠BOC,
∵∠BOC=2∠A,
∴∠BO′C=2∠A,
又∵点O′是△ABC的内一点,
∴点O′是△ABC内∠A的二倍角点.…(4分)

(2)如右图,作AC的垂直平分线交AB于点M,连接MC,
则点M为所求作的点.…(6分)

(3)ⅰ)当三角形为锐角或直角三角形时,三角形外接圆的圆心即为该三角形内三个内角的二倍角点;    …(8分)
ⅱ)当三角形为钝角三角形时,不存在一点同时为该三角形内三个内角的二倍角点.…(10分)