设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-2c，b=-2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2

Question

设二次函数y₁，y₂的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-2c，b=-2d，且开口方向相同时，则称y₁是y₂的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y=x²+x+1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y₁=x²+nx和二次函数y₂=x²-2nx+1，若函数y₁恰是y₁+y₂的“反倍顶二次函数”，求n的值．

Answer 1

（1）∵y=x²+x+1，
∴y=（x+(1)/(2)）²+(3)/(4)，
∴二次函数y=x²+x+1的顶点坐标为（-(1)/(2)，(3)/(4)），
∴二次函数y=x²+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（(1)/(4)，-(3)/(8)），
∴反倍顶二次函数的解析式为y=（x-(1)/(4)）²-(3)/(8)=x²-(1)/(2)x-(5)/(16)；

（2）y₁=x²+nx=（x+(n)/(2)）²-(n2)/(4)，
顶点坐标为（-(n)/(2)，-(n2)/(4)），
y₁+y₂=x²+nx+x²-2nx+1=2x²-nx+1=2（x-(n)/(4)）²+1-(n2)/(8)，
顶点坐标为（(n)/(4)，1-(n2)/(8)），
由于函数y₁恰是y₁+y₂的“反倍顶二次函数”，
则-(n2)/(4)=-2×（1-(n2)/(8)），
解得：n=±2．