设函数f（x）=a2+asinx+2a2+acosx+2（x∈R）的最大值为M（a），最小值为m（a），则M（a）•m（a）=．

Question

设函数f（x）= (a2+asinx+2)/(a2+acosx+2)（x∈R）的最大值为M（a），最小值为m（a），则M（a）•m（a）=___．

Answer 1

∵f（x）=(a2+asinx+2)/(a2+acosx+2)=(a2+2-(-asinx))/(a2+2-(-acosx))（x∈R）
∴f（x）表示点（a²+2，a²+2）与圆x²+y²=a²上点连线的斜率，
∴斜率最大与最小的临界值是直线与圆相切的时候，即△=0，
联立

y=k(x-a2-2)+a2+2

x2+y2=a2

，
消去x整理得：（1+k²）x²+2k（1-k）（a²+2）x+（1-k）²（a²+2）²-a²=0，
令△=0，即[2k（1-k）（a²+2）]²=4（1+k²）[（1-k）²（a²+2）²-a²]，
整理得：[（a²+2）²-a²]k²-2（a²+2）²k+（a²+2）²-a²=0，
由韦达定理可知：M（a）•m（a）=((a2+2)2-a2)/((a2+2)2-a2)=1，
故答案为：1．