20分(1)a^2-5a-7=0,求(a^4+a^2+1)/a^2.(1)a^2-5a-7=0,求(a^4+a^2+1)/a^2.(2)求（7-x）（3-x）（x^2-4）的最小值.

Question

20分】(1)a^2-5a-7=0,求(a^4+a^2+1)/a^2.
(1)a^2-5a-7=0,求(a^4+a^2+1)/a^2.
(2)求（7-x）（3-x）（x^2-4）的最小值.

Answer 1

（1） a^2-5*a-7=(a^2+5*a+33)*(a^2-5*a-7)+(232+200*a)=232+200*a,（a^2-5a-7=0）
因为a^2-5a-7=0,所以a^2=5a+7,
所以(a^4+a^2+1)/a^2=(232+200*a)/(5a+7)=40-48/(5a+7)；
算出来不是整数,想必是题目抄写有误.
如果已知条件改为a^2-5a+1=0,则除了上述方法外,还可以这样做：
a^2-5a+1=0,则a≠0,等式两边同时除以a,a-5+1/a=0,
所以 a+1/a=5；两边平方,a^2+1/a^2=23,
(a^4+a^2+1)/a^2=(a^2+1+1/a^2)=1+a^2+1/a^2=24.
（2）设y=(7-x)*(3-x)*(x^2-4),则
y=(x-7)*(x-3)*(x-2)*(x+2)=[(x-7)*(x+2)]*[(x-3)*(x-2)]=(x^2-5x-14)*(x^2-5x+6),
记X=[(x^2-5x-14)+(x^2-5x+6)]/2=x^2-5x-4,
则y=(X-10)*(X+10)=X^2-10^2≥-100,等号当且仅当X=0时成立,此时x^2-5x-4=0,Δ>0,故满足条件的x是存在的.
所以y的最小值为-100.