等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比.举个例子看看,我听的不太懂

Question

等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比.举个例子看看,我听的不太懂

Answer 1

等比数列中,连续等距的片段和构成的数列Sm,S2m-S3m,S3m-S4m,构成等比数列
如果这些和中没有0,那么结论成立.
简析：
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,（a1q≠0）
则Sm=a1+a2+…+am,
S2m-Sm=a(m+1)+a(m+2)+…+a(2m)=(q^m) (a1+a2+…+am)= (q^m) Sm,
S3m-S2m=a(2m+1)+a(2m+2)+…+a(3m)=(q^m) (a(m+1)+a(m+2)+…+a(2m))
= (q^2m) (a1+a2+…+am)= (q^2m)Sm,
…,故能成等比数列.
已知等比数列｛an｝中,S10=10,S20=30,求S30.
【解法一】
S10=10,S20-S10=30-10=20,S30-S20=S30-30.
因为{an}为等比数列,所以其依次K项之和也成等比数列.
所以S10=10,S20-S10=30-10=20,S30-S20=S30-30成等比数列,
所以S30=70.
【解法二】
根据等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q),得
S10= a1(1-q^10)/(1-q),
S20= a1(1-q^20)/(1-q),
S30= a1(1-q^30)/(1-q)
∵S20/S10=(1-q^20)/ (1-q^10)= (1+q^10) (1-q^10) / (1-q^10)= (1+q^10)=3,
∴3=1+q^10
∴q^10=2 ,q^20=4 ,q^30==8
又∵S10= a1(1-q^10)/(1-q)= a1(1-2)/(1-q)= -a1/(1-q)=10
∴a1/(1-q)=-10
∴S30= a1(1-q^30)/(1-q)= a1(1-8) /(1-q)=-7 a1/(1-q)=70