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已知F（X）=x+2x^2+3x^3+.+nx^n求证F(1/2)＜2
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已知F（X）=x+2x^2+3x^3+.+nx^n 求证F(1/2)＜2
▼优质解答
答案和解析
F（X）=x+2x^2+3x^3+.+nx^n,等式两边同乘以x,得：
xF（X）=x^2+2x^3+3x^4+.+nx^n+1,由原式减此式,得：
(1-x)F（X）=x-x^2-x^3-.-x^n-nx^n+1,中间n-1项为等比数列,求和得：
(1-x)F（X）=x-[x^2(1-x^n-1)]/(1-x)-nx^n+1
所以,F(1/2)={1/2-[1/2^2(1-1/2^n-1)]/(1-1/2)-n1/2^n+1}/(1-1/2)
xF（X）=x^2+2x^3+3x^4+.+nx^n+1,由原式减此式,得：
(1-x)F（X）=x-x^2-x^3-.-x^n-nx^n+1,中间n-1项为等比数列,求和得：
(1-x)F（X）=x-[x^2(1-x^n-1)]/(1-x)-nx^n+1
所以,F(1/2)={1/2-[1/2^2(1-1/2^n-1)]/(1-1/2)-n1/2^n+1}/(1-1/2)
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