已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=mx+1,对任意的x1大于等于-1小于等于1,存在x2大于等于-2小于等于2,使g(x1)=f(x2),则m的范围是?m大于等于-2小于等于2……请解释一下理由

Question

已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=mx+1,对任意的x1大于等于-1小于等于1,存在x2大于等于-2小于等于2,使g(x1)=f(x2),则m的范围是?
m大于等于-2小于等于2……请解释一下理由

Answer 1

[注:该题的题意是,
若函数f(x)=x²+2x在区间[-2,2]上的值域为集合M,
函数g(x)=mx+1在区间[-1,1]上的值域为集合N,
.且N是M的子集.求实数m的取值范围.]]
易知,函数f(x)=x²+2x=(x+1)²-1在区间[-2,2]上的值域为M=[-1,8].
下面分类讨论.
[[[1]]]
当m＜0时,易知,函数g(x)=mx+1在区间[-1,1]上的值域N=[1+m,1-m].
此时由题设可知,区间[-1,8]包含区间[1+m,1-m].
∴-1≦1+m≦1-m≦8.且m＜0
解得:-2≦m＜0.
[[[2]]]
当m=0时,函数g(x)=1.显然满足题设.
[[[3]]]
当m＞0时,此时函数g(x)=mx+1在区间[-1,1]上的值域为[1-m,1+m]
由题设可得:-1≦1-m≦1+m≦8,且m＞0.
解得:0＜m≦2.
综上可知,-2≦m≦2.