已知函数f（x）=ex-ax+a，其中a∈R，e为自然数的底数（1）讨论函数f（x）的单调区间，并写出相应的单调区间（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则当a≥0时，求ab的最大值．

Question

已知函数f（x）=e^x-ax+a，其中a∈R，e为自然数的底数
（1）讨论函数f（x）的单调区间，并写出相应的单调区间
（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则当a≥0时，求ab的最大值．

Answer 1

（1）根据题意，得f′（x）=e^x-a，下面对a进行讨论：
①当a≤0时，f′（x）>0，函数f（x）在R上单调递增；
②当a>0时，由f′（x）=e^x-a=0得x=lna，
∴x∈（-∞，lna）时，f′（x）<0，f（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增．
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当a>0时，函数f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）． 
（2）当a=0时，此时ab=0； 
当a>0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，得b≤f_min（x），
∵f_min（x）=f（lna）=2a-alna，∴b≤2a-alna，∴ab≤2a²-a²lna，
设g（a）=2a²-a²lna（a>0），∴g′（a）=4a-（2alna+a）=3a-2alna，
由于a>0，令g′（a）=0，得lna=(3)/(2)，从而a=e(3)/(2)，
当a∈(0，e(3)/(2))时，g′（a）>0，g（a）单调递增；
a∈(e(3)/(2)，+∞)时，g′（a）<0，g（a）单调递减．
∴gmax(a)=(e3)/(2)，即a=e(3)/(2)，b=(1)/(2)e(3)/(2)时，ab的最大值为(e3)/(2)．