如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）求证：∠E=12∠A．（2）若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？

Question

如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．

（1）求证：∠E=(1)/(2)∠A．
（2）若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？

Answer 1

（1）证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠3=(1)/(2)（∠A+∠ABC）．
又∵∠4=∠E+∠2，
∴∠E+∠2=(1)/(2)（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=(1)/(2)∠ABC，
∴(1)/(2)∠ABC+∠E=(1)/(2)（∠A+∠ABC），
∴∠E=(1)/(2)∠A；
（2）如图2所示，
∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2=(1)/(2)∠CBD，∠4=(1)/(2)∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=(1)/(2)（∠A+∠ACB），∠4=(1)/(2)（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+(1)/(2)（∠A+∠ACB）+(1)/(2)（∠A+∠ABC）=180°，即∠E+(1)/(2)∠A+(1)/(2)（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+(1)/(2)∠A=90°．