重量为100N、长为L=2m的均匀木棒放在水平桌面上，如图（a）所示，至少要用35N的水平推力，才能使它从原地开始运动．木棒从原地移动以后，用30N的水平推力，就可以使木棒继续做匀速运动

Question

重量为100N、长为L=2m的均匀木棒放在水平桌面上，如图（a）所示，至少要用35N的水平推力，才能使它从原地开始运动．木棒从原地移动以后，用30N的水平推力，就可以使木棒继续做匀速运动．求：

（1）木棒与桌面间的最大静摩擦力F_max．
（2）木棒与桌面间的动摩擦因数μ．
（3）当水平推力使木棒匀速运动至木棒有0.5m露出桌面时，如图（b）所示，水平推力的大小F．

Answer 1

（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥(2)/(3)．
∴(2)/(3)≤x≤1．
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|(2)/(3)≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f₃（x）=x．
（3）f1((8)/(9))＝2(1−(8)/(9))＝(2)/(9)，
f2((8)/(9))＝f(f((8)/(9)))＝f((2)/(9))＝(14)/(9)，
f3((8)/(9))＝f(f2((8)/(9)))＝f((14)/(9))＝(14)/(9)−1＝(5)/(9)，
f4((8)/(9))＝f(f3((8)/(9)))＝f((5)/(9))＝2(1−(5)/(9))＝(8)/(9)，
一般地，f4k+r((8)/(9))＝fr((8)/(9))（k，r∈N）．
∴f2008((8)/(9))＝f0((8)/(9))＝(8)/(9)
（4）由（1）知，f（(2)/(3)）=(2)/(3)，∴f_n（(2)/(3)）=(2)/(3)，则f₁₂（(2)/(3)）=(2)/(3)，∴(2)/(3)∈B．
由（2）知，对x=0、1、2，恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=x，则0、1、2∈B．
由（3）知，对x=(8)/(9)、(2)/(9)、(14)/(9)、(5)/(9)，恒有f12（x）=x，∴(8)/(9)、(2)/(9)、(14)/(9)、(5)/(9)∈B．
综上所述(2)/(3)、0、1、2、(8)/(9)、(2)/(9)、(14)/(9)、(5)/(9)∈B．
∴B中至少含有8个元素．