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若函数f(x)的定义域为N+,且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1,求f(x)的表达式.
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若函数f(x)的定义域为N+,且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1,求f(x)的表达式.
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答案和解析
∵f(x)的定义域为N+,且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=1,
∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1×1=1+1+1=3,
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+1×2=3+1+2=6,
f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+1×3=6+1+3=10,
f(5)=f(4+1)=f(4)+f(1)+1×4=10+1+4=15,
f(6)=f(5+1)=f(5)+f(1)+1×5=15+1+5=21,
,…,
∴f(x)=1+2+3+…+x=
x∈N+;
∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1×1=1+1+1=3,
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+1×2=3+1+2=6,
f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+1×3=6+1+3=10,
f(5)=f(4+1)=f(4)+f(1)+1×4=10+1+4=15,
f(6)=f(5+1)=f(5)+f(1)+1×5=15+1+5=21,
,…,
∴f(x)=1+2+3+…+x=
x(x+1) |
2 |
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