如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是AB上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）当BC=2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；（2）在△DOE中，是否存在长

Question

如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是

AB

上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC=2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD=(1)/(2)BC＝1，
∴BD＝(1)/(2)OB，
∴∠BOD=30°；
由勾股定理得：
OD²=2²-1²=3，
∴OD=√(3)；
即线段OD的长和∠BOD的度数分别为√(3)、30°．
（2）存在，DE=√(2)；
如图，连接AB；
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB²=OB²+OA²=8，
∴AB=2√(2)；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=CD，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
DE=(1)/(2)×2√(2)=√(2)．
（3）存在，∠DOE=45°；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA=OB=OC，
∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE，
∴∠DOE=(1)/(2)∠AOB＝45°，
即∠DOE=45°．