设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R,f(x+2)=-f(x)且f(-x)=-f(x)恒成立,当0≤x≤1时,f(x)=x当x∈R时,求f(x)的表达式

Question

设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R,f(x+2)=-f(x)且f(-x)=-f(x)恒成立,当0≤x≤1时,f(x)=x
当x∈R时,求f(x)的表达式

Answer 1

由f(x+2)=-f(x)得
f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-（-f(x)）=f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数,
当0<=x<=1时f(x)=x
由f(-x)=-f(x)恒成立,得f(x)是奇函数所以当-1<=x<=0
0<=-x<=1
-f(x)=f(-x)=(-x）
所以f(x)=x,-1<=x<=0
所以f(x)=x,[-1,1]
由f(x)是定义域在R上的奇函数f(-x)=-f(x),及f(x+2)=-f(x)得
f(x+2)=f(-x),可得f(x)是关于x=1对称,
所以f(x)=2-x,[1,3]