已知，抛物线的图象过A（-3，0），B（-1，0），且与y轴交于（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点C在抛物线对称轴上，点D在抛物线上，是否存在以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱

Question

已知，抛物线的图象过A（-3，0），B（-1，0），且与y轴交于（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点C在抛物线对称轴上，点D在抛物线上，是否存在以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形？若存在，求出C点的坐标．

Answer 1

（1）设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
将点A（-3，0）、B（-1，0）、（0，3）代入y=ax²+bx+c，

9a-3b+c=0

a-b+c=0

c=3

，解得：

a=1

b=4

c=3

，
∴抛物线的表达式为y=x²+4x+3．

（2）假设存在，分三种情况考虑：
①当线段AB为对角线时，则点D为抛物线的顶点，如图1所示．
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴点D的坐标为（-2，-1）．
∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，
∴点C的坐标为（-2，1）；
②当线段AB为边，且点D在点C的左侧时，如图2所示．
∵A（-3，0），B（-1，0），抛物线对称轴为x=-2，CD=AB，
∴点D的横坐标为-4，
∴D（-4，3），此时AD=√([-3-(-4)]2+(0-3)2)=√(10)，
∴AD≠AB，
即此时以A、B、C、D四点为顶点的平行四边形不是菱形；
③当线段AB为边，且点D在点C的右侧时，如图3所示．
同理可求出BC=√(10)≠AB，
即此时以A、B、C、D四点为顶点的平行四边形不是菱形．
综上所述：存在以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，点C的坐标为（-2，1）．